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2015年11月29日

京大の特色入試で超難問が登場!一筋縄ではいかない「数学オリンピック級」のこの問題、あなたは解けますか?

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コメント

math

1: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 00:06:31.36 ID:CAP_USER*.net
2015年11月28日 22時40分

 「意欲的でとがった人材」を求めるために京都大が今回から導入した特色入試が28日行われ、理学部の59人(定員5人)、教育学部の12人(定員6人)が筆記試験に挑んだ。
注目されていた理学部は4時間の筆記試験で、数学の「超難問」4問を課した。
うち1問は、コインを使った単純なゲームに関する出題だったが、クリアするのは一筋縄ではいかないようだ。

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状態変化を扱ったコインの問題

 理学部の筆記試験について、学習塾の京進(京都市下京区)は「いずれの問題も高校数学の範囲で解答可能だが、様々な単元が複合されており、これまでの2次試験に比べて難易度は極めて高い。
状態変化を扱ったコインの問題では、規則性を見つけることで正解を推定し証明する必要がある」と講評した。

 コインの問題は、設問の「問1」だけ見れば一見パズルのようだが、予備校関係者は「設問による誘導がなければ数学オリンピック級の難問だろう」と指摘する。

 京大が昨年末に公開した理学部の出題例の問題は、「難問」として定評のある従来の2次試験の数学の難易度を超える「超難問」だとして、今回の出題内容が注目を集めていた。
従来の2次試験では理系で6問(2時間半)が出題されている。

 教育学部は、若者の非行の現状や薬物乱用に関する日本と海外の資料を提示した上で、英文の和訳や規範意識の醸成に必要な事柄の説明などを課した。

 両学部は29日に探究力や意欲、コミュニケーション力などを試す口頭試問を実施し、筆記試験の結果と合わせて合格者を選考する。
大学入試センター試験で基準点を獲得していることを条件として来年2月10日に最終の合格発表を行う。特色入試は、3月まで全10学部で行われる。

引用元 http://www.kyoto-np.co.jp/education/article/20151128000119

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関連記事:あなたは解けるか!?ベトナムの子供が8歳の時に習う、超難題がコチラ
 
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4: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 00:10:17.60 ID:VaeIq9XQ0.net
1998年東大後期試験の3問目とどっちが難しいの?

166: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 02:53:47.12 ID:p4iJ0uID0.net
>>4
俺も同じレスしようと思ってた。
あれは伝説だよなぁ

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11: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 00:17:47.83 ID:U4Hcxyc50.net
数学出来る頭に生まれたかった
あと毛の抜けない頭に生まれたかった


13: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 00:18:24.29 ID:o75K/B0M0.net
これは特別なとんがった人を集めるためのAO入試だから例外的にOK
一般入試で難問奇問を競い合うのは時代遅れだからやめるように


29: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 00:30:31.28 ID:W5p0DC5X0.net
こうゆう問題好きだけど、苦手だわ。


42: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 00:40:32.19 ID:Z2sQ/vdS0.net
一応東大生だけど思ったよりも簡単だった
京大も大したことないな

52: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 00:45:17.86 ID:VaeIq9XQ0.net
>>42
解答よろ


50: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 00:45:00.49 ID:aE2AnIFQ0.net
最近の問題はカラー印刷なのか
ワシの頃はガリ版刷りじゃった

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60: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 00:49:24.02 ID:KAxXw4DI0.net
問い1
4回で完了させることできた。
したがって4回以下であることはたしか。


69: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 00:54:24.99 ID:KAxXw4DI0.net
問い1はなんとかなりそうだね。
何回か試行錯誤しているとパターンが見えてくる。


72: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 00:56:40.70 ID:8e//DyCS0.net
推薦で受験勉強をバイパスしようとした奴涙目wwww


105: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 01:20:16.56 ID:MDzAqgLO0.net
59人しか受けてないって、俺でも受かりそうだな


112: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 01:33:03.78 ID:mZOiU4Ts0.net
まず面白くない、なんの役に立つかわからない、興味が持てない。
そりゃ、学力低下するわな。

114: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 01:34:35.29 ID:VR9ZpsTx0.net
>>112
そういう感想を持つ人を京大も求めてないだろうしな



113: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 01:34:10.88 ID:Rq+z5x6L0.net
×○×○×○× から ○○○○○○○ にするには
最初3個ある○をそれぞれ偶数回ひっくり返して
最初4個ある×をそれぞれ奇数回ひっくり返すから
ひっくり返す回数は、3×偶数+4×奇数=偶数 

3回の操作だと9枚(奇数枚)ひっくり返すからダメ
といって2回でも無理そう


123: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 01:40:14.47 ID:/ov09bBd0.net
ヒラメキがあれば、証明の記述にはそれほど時間がかからなそうだ。
ね。
「ひらめけ!」という、いかにも京大らしい問題ではある。

でも、地頭に頼っているだけじゃ、大成しないよ。
英語とか勉強しろ。


144: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 02:05:14.76 ID:503nj5bB0.net
頭脳王に聞いたらいい
一般人には時間の無駄w

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148: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 02:13:26.97 ID:KAxXw4DI0.net
オレ京大理学部受けた時は、
三角錐の容器に一定の速度で水をいれたとき、水面の上がる速度を求めよって問題でたの覚えている。


156: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 02:43:04.15 ID:c2UApa8i0.net
数オリメダリストを無試験で合格させりゃ済むなw


165: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 02:53:15.00 ID:Rq+z5x6L0.net
受験版で拾ってきた。これも出題らしい
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264: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 05:15:11.45 ID:Vwjdj+th0.net
>>165
離散フーリエ変換の知識+計算力の問題か。

E[n] = (3/n^2) [ (n-1)*sin(2π/n) + (n-2)*cos(3π/n) / {2sin(π/n)} + sin(4π/n) / {4sin^2(π/n)} ]

lim[n→∞] E[n] = 3/(2π)


179: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 03:08:23.26 ID:+K4R8omN0.net
このレベルの問題だと解に至る必要は必ずしもないだろ?

いろいろ試行錯誤の跡が見られればいい。


189: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 03:21:53.14 ID:37Qcfcl/0.net
>>1
これ、当たり前やんって問題だけど
証明が難しいな
受験から離れて20年
ギブアップですわ


196: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 03:31:40.83 ID:D6CMONorO.net
>>1
俺は問1を30分考えたけど無理だった
解けた人には心から敬意を表したい。
やっぱり頭の良し悪いは努力では埋まらないわ


269: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 05:20:04.25 ID:SgTh4WAW0.net
こういう問題でよくあるのは力技で解いてるうちに法則に気付くパターン
でも全くわからんね


274: (*゚∀゚)ゞカガクニュース隊 2015/11/29(日) 05:25:57.61 ID:SgTh4WAW0.net
京大受けたから知ってるけど京大の問題は変わったものが多い 発想さえよければ簡単に解けたりもする
東大の問題は難しいだけの普通の問題が多い
東大受かる人でも京大普通に落ちる。逆もしかり

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コメント一覧

1. 名無し  2015年11月29日 22:20
問1が2回ってことしかわからん
2. 名無し隊員さん  2015年11月29日 22:39
この中で東大京大がいったい何人いるのか(笑)
3. 名無し隊員さん  2015年11月29日 22:41
問1は2回で解けないと思うんだが
4. 名無し隊員さん  2015年11月29日 22:46
感覚的な解の予想なんだけど

たぶんn=a*k、つまりnがkの倍数の場合は堂々巡りになって解けないパターンが出来てしまう

それでn%k=1、つまりnをkで割った余りが1のときは裏表配置パターンを一つずつ調整できるから時間をかければほぼ解ける
5. りんり  2015年11月29日 23:00
それいうならn-k=1じゃね
6. 名無し  2015年11月29日 23:15
数学に関しては一般入試なら東大京大ですらセンスがなくてもちゃんと勉強すれば解ける問題を出してくれてるから…
7. 名無し隊員さん  2015年11月29日 23:25
表=○、裏=×とすると
(×)○×○×(○)(×)⇒(○)(○)×○××(○)⇒(×)(×)(×)○×××⇒○○○○(×)(×)(×)⇒○○○○○○○の4回が最短だと。
つまり問1は、最終的に表が1枚で残り6枚が裏になるように出来るかがキーポイントとなる。
問2は表・裏3枚連続にならないと全部表に出来ない。
うん良く分からん。多分試行回数と1回での変化量、その合計がとか出てくるんだろうけどさっぱり分かりません。
8. ななし  2015年11月29日 23:35
こういうのを難問奇門とかいう人の勉強のしでなさは以上
教科書からの知識を応用して解けるのだから素晴らしく良問なんだよなぁ
作ってる方は楽しいだろうな。
9. 名無し隊員さん  2015年11月29日 23:41
とりあえず問い1の最小回数は4回だな
関数にしてエネルギー最小化とかで真正面からやると無理っぽいな
なんか頭悪い解法っぽいけどn=7の場合全部表にするには●が三つ並んでないといけないってとこから逆算しました、で一応証明になる気がする
 ●〇
   〇

   〇
 ●〇
このパターンを作れる前のパターンは2つだけ
 ●●
   〇

   〇
 ●●

 〇●
   〇
〇  
   〇 
 〇●
下からなら4回

問い3は・・・、結局数が増えても最後は2パターンだから上なら左の5つ以外を表、下なら右の4つ以外を表にできるかを検証すればー・・・できるのかは知らん
10. あ  2015年11月29日 23:42
偉そうに上から物を言ってる奴はいったいどこの大学卒なのか
11. 名無し  2015年11月29日 23:56
京大は〜東大は〜ってあーだこーだいうわりに結局誰ひとり解答出せてないのが滑稽やわ。
12. 名無し隊員さん  2015年11月29日 23:56
問3の必要十分条件はk=1である事だな。
13. ダースベイダーシュレディンガーマクマリアンハザード  2015年11月29日 23:57
我はみなに祝福を与えるものなり!  みなの脳みそに知恵の祝福を!!
14. 名無し隊員さん  2015年11月29日 23:58
全くやり方わからないから2進数使って6,7ビットで計算したらどうにかなるかなーと思ったがダメだった
どこかの天才に解説して欲しい
15. 名無し隊員さん  2015年11月30日 00:02
>>12
それを言うなら「nをkで割った余りが1となるn,k」だわ。
16. 名無し隊員さん  2015年11月30日 00:03
>>15
nとk逆では
17. ウォ  2015年11月30日 00:14
(2)は終了条件を満たすために必要な状態を逆算していけば全体の事象を4、5パターンくらいに分けられるから5分で解けるな
18. 名無し  2015年11月30日 00:25
初期状態のコインを動かしてはならないなんて条件も無いので
一回目 裏2枚と表1枚を裏返す 表:4 裏:3
2回目 裏3枚ひっくり返して終わり
で2回じゃ駄目なのかな?
19. 名無し隊員さん  2015年11月30日 01:22
東大卒ですが無理です。

哲学部ですので。
20. 名無し隊員さん  2015年11月30日 03:59
直感だが、問3は、
「2pn±1=qkが成立すような、p、q(自然数)が存在すること」…(*)
と見た。

まず、どのような初期状態でもゲームを終わらせられるためには、当然、「一枚のコインが裏で他が全て表」という初期状態からゲームを終わらせられることが必要。このためには、(*)の条件が必要である。(なぜなら、(*)が成り立たない場合には、ある裏のコインを表にしようとしても。別のコインが巻き添えを喰らって裏になるから。)

逆に、(*)の条件が満たされるなら、「一枚のコインが裏で他が全て表」という初期状態からゲームを終了させられる。これは、「任意の一枚のコインだけを選んで反転させられる」ことに等しい。つまり、これの繰り返しによって、任意の位置にある複数枚の裏のコインを順番に表にできるので、どのような初期配置のゲームも終了させられる。

よって必要十分。

こんなに簡単なはずがないよな。
たぶん間違ってる気がする。

誰か直してくれ。
21. 名無し隊員さん  2015年11月30日 04:19
社会でてから頭使うこと減った気がするなぁ。いかんいかん
22. 名無し  2015年11月30日 07:58
なるほど、qkで2p周した結果一個余ればいいわけか。
23. 名無し隊員さん  2015年11月30日 14:07
※20
なぜなら、(*)が成り立たない場合には、ある裏のコインを表にしようとしても。別のコインが巻き添えを喰らって裏になるから。
が怪しいな。
24. 名無し隊員さん  2015年11月30日 15:57
数オリ級の問題出すつもりなら、お菓子ルームを作れー!
25. 名無し隊員さん  2016年01月23日 21:37
問1 コインを左端から時計回りにc1, c2, …, c7とし、c1, c2, c3を裏返す操作の回数をt1、他の操作も同様にt2, t3, …, t7とする。
コインの裏返される回数は操作の順番に関係しないので、図1のゲーム終了時には2を法として次が成り立つ。
t1+t2+t3≡0, t2+t3+t4+1≡0, t3+t4+t5+1≡0,
t4+t5+t6≡0, t5+t6+t7+1≡0,
t6+t7+t1≡0, t7+t1+t2+1≡0
これを解いて、
t1≡0, t2≡1, t3≡1, t4≡1, t5≡1, t6≡0, t7≡0
従って図1は終了でき、t2, t3, t4, t5を1回ずつ、計4回で最小となる。
26. 名無し隊員さん  2016年01月23日 21:42
問2 左上をc1として問1の回答と同様に、c1, …,c6、t1, …,t6を定めると、図2のゲーム終了時には2を法として次が成り立つ。
t1+t2+t3≡0, t2+t3+t4≡0, t3+t4+t5+1≡0,
t4+t5+t6+1≡0, t5+t6+t1≡0, t6+t1+t2+1≡0
これを解くと、1≡0となり矛盾。従って図2は終了できない。
27. 名無し隊員さん  2016年01月23日 21:59
問3 2nとkが互いに素であることが必要十分。
証明
(十分性)2nとkが互いに素ならば2nを法としてk^φ(2n)≡1(オイラーの定理)。
従って、k^φ(2n)個の連続するコインを裏返すと、1個目のみ奇数回、それ以外を偶数回裏返すことができる。すなわち、k^(φ(2n)-1)回の操作により、1個のコインのみを裏返すことができる。これを裏で開始するコイン毎に行えば必ずすべてのコインを表にすることができるので、ゲームを終了させることができる。
28. 名無し隊員さん  2016年01月23日 22:19
(必要性) 2nとkが素でないと仮定する。
1) kが偶数の場合:
1回の操作で必ず偶数個のコインの裏表が変化する。このため、裏のコインが奇数個で開始される場合、操作後の裏のコインは常に奇数個になり、ゲームは終了しない。
2) kが奇数の場合:
nとkの最大公約数をmとすると、2nとkが素でなくkが奇数なのでm>1。
コインをm個おきに1個ずつ選んだn/m個の組を作る。一つづつずらしながら同様に組を作るとn/m個の組がm組できる。この時、1回の操作でm組はどれも同じ回数だけコインが裏返される。
初期状態が1個だけ裏となっている場合を考えると、ゲームが終了するためには裏のコインを含む組は奇数回、それ以外の組は偶数回、コインが裏返されなければならない。しかし、すべての組のコインが裏返される回数は等しいことからゲームは終了しない。
1)、2)から、ゲームが終了するためには2nとkが素であることが必要である。
29. 名無し隊員さん  2016年02月29日 00:25
問1は3回だよ。
奇数回の試行で表は偶数枚、
偶数回の試行で表は奇数枚になるから
2回とか4回では表の枚数は奇数。
0枚にはならないよ。
30. 名無し隊員さん  2016年06月01日 16:45
どれでも好きなコインをひっくり返せるのとは違うよ。
問題文に「連続する3枚」と書いてあるよ。

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